Рассмотрим функции и Ясно, что все они являются б.м.ф. При Оценим «скорость» их стремления к 0. Для этого вычислим значения этих функций при нескольких уменьшающихся значениях аргумента- Результаты приведены в таблице 1. Пусть Пусть множество D имеет предельную точку а. Число А называют левым (правым) пределом функции при если для любой последовательности такой, что последовательность сходится к В этом случае пишут
- Графический способ задания функции широко применяется на практике.
- Следовательно, она является обратимой функцией и имеет обратную функцию.
- Формула выражает закон соответствия между множествами X и Y.
- Рассмотрим точку, абсцисса которой равна х, а ордината у, т.
- Требуется показать, что для такое, что если Так как для произвольного верны неравенства то
Способы задания функции
Такая функция называется прямой пропорциональностью. Если на координатной плоскости отметить все точки, координаты которых суть пары чисел, записанных в таблице, то видно, что все они лежат на одной прямой (рис. 41). Покажем, что линейная функция есть функция монотонная. Возьмем два произвольных значения Найдем для них соответствующие значения Такие функции называются линейными функциями.
Каждому значению х, удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения у, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Ох. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Оу. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти. Например, уравнение определяет неявную функцию.
А затем на основании симметрии относительно оси Оу продолжить его для значений т. Нужно построенный график функции для зеркально отобразить относительно оси ординат. Рассмотрим теперь функцию (рис. 32).
Геометрическое изображение функций
Тогда такое, что для для которого В частности, если такое, что Так как то (см. лемму 8.1 главы II) и, следовательно (см. следствие 5.1 главы II), тогда в соответствии с первым определением т. Функции задают функцию, график которой изображен на рис. Ее можно представить как след движения отмеченной точки М колеса радиуса вдоль оси Функция с областью определения D называется ограниченной сверху (снизу), если такое, что для Если функция является одновременно ограниченной сверху и снизу, то она называется ограниченной.
Классификация точек разрыва
Функция — это тройка множеств где — такой график соответствия что в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Поскольку функция — частный случай соответствия, то все введенные для соответствия определения и свойства справедливы и для функции. Совокупность всех значений независимого переменного, для которых установлен закон или правило, позволяющее найти соответствующие значения функции, называется областью существования функции.
3) — отражение Г относительно оси Ох (рис. 5.13, в). Представим данную функцию в виде . Под деформацией графика функции мы имеем в виду построение геометрическими методами графика функции исходя из графика функции .
Задание функции графиком
Однако функцию, заданную последним уравнением, можно представить и в явном виде; действительно, Заметим, что равенство (3) подтверждает справедливость сказанного о том, что для нахождения предела функции достаточно подставить вместо аргумента его предельное значение. Отсюда видно, что равенство (3) выражает условие непрерывности функции при данном х, равносильное рассмотренному в начале лекции. Существуют и другого рода разрывы, когда функция меняет одно конечное значение на другое, тоже конечное.
График наглядно показывает, как изменяется функция, и помогает анализировать её свойства. Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления…, в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения… Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функции фондовой биржи функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций.
- Покажем, что линейная функция есть функция монотонная.
- Если при приближении значений аргумента х к числу а значения у приближаются к числу А.
- Все авторские права на размещённые материалы сохраняются за правообладателями.
Пусть даны два множества Между ними можно установить соответствие различными способами. 21 указаны некоторые из этих соответствий. Чтобы различать эти соответствия, мы будем обозначать их различными маленькими латинскими буквами и т. Таких, что каждый последующий содержится в предыдущем.
Частное значение функции
Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции. Невозрастающие и неубывающие функции называются (нестрого) монотонными, а возрастающие и убывающие функции — строго монотонными. Для произвольной функции можно найти промежутки монотонности — подмножества области определения, на которых функция так или иначе (строгость выбирается в большинстве случаев договорно) монотонна. Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде.
Функция (математика)
Непрерывная функция может изменить знак только при переходе через нуль. Это свойство непрерывной функции легко выясняется геометрически. Однако не все функции и не при всяком значении х непрерывны. Величина у1 называется первоначальным значением функции, у2 — новым или наращенным ее значением, а разность
Взаимно-однозначное отображение множества на себя, то есть функцию вида называется подстановкой чисел (подстановкой -ой степени). Подстановку часто записывают в виде двух строк. Первая содержит аргументы подстановки, а вторая — соответствующие им образы (вторые координаты). Например, подстановка четвертой степени
В этом случае функцию называют непрерывной на отрезке Всюду ниже через будем обозначать множество непрерывных на отрезке функций. Например, функция является суперпозицией функции (ее область значений — интервал и функции (область определения которой — интервал В случае, когда область определения функции является конечным множеством, обычно используется табличный способ задания функций.